(本題滿分13分)
已知直線與橢圓相交于A、B兩點.
(Ⅰ)若橢圓的離心率為,焦距為2,求線段AB的長;
(Ⅱ)若向量與向量互相垂直(其中O為坐標原點),當橢圓的離心率 時,求橢圓的長軸長的最大值.
解:(Ⅰ)橢圓的方程為 ,

 ;
(II)長軸長的最大值為
本試題主要是考查了橢圓的方程的求解,以及直線與橢圓的位置關系的綜合運用。
(1)根據(jù)題意的幾何性質,得到系數(shù)a,b,c的關系式,進而得到橢圓的方程的求解。
(2)設出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,得到關于x的一元二次方程,然后分析向量的數(shù)量積為零表示垂直,以及結合橢圓的離心率的范圍得到所求。
解:(Ⅰ)   
∴橢圓的方程為                            ……………………… 2分
聯(lián)立


                                 …………………… 6分
(II)

 整理得 

整理得:
代入上式得
 

由此得,故長軸長的最大值為.……… 13分
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

(本題滿分12分)已知橢圓過點,且離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)為橢圓的左、右頂點,直線軸交于點,點是橢圓上異于
的動點,直線分別交直線兩點.證明:恒為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

在直角坐標系中,點P到兩點的距離之和等于4,設點P的軌跡為,直線與C交于A,B兩點.  (Ⅰ)寫出C的方程;(Ⅱ)若,求k的值;
(Ⅲ)若點A在第一象限,證明:當k>0時,恒有||>||.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

給出下列命題:
①已知橢圓兩焦點,則橢圓上存在六個不同點,使得△為直角三角形;
②已知直線過拋物線的焦點,且與這條拋物線交于兩點,則的最小值為2;
③若過雙曲線的一個焦點作它的一條漸近線的垂線,垂足為為坐標原點,則;
④根據(jù)氣象記錄,知道荊門和襄陽兩地一年中雨天所占的概率分別為20%和18%,兩地同時下雨的概率為12%,則荊門為雨天時,襄陽也為雨天的概率是60%.
其中正確命題的序號是(     )
A.①③④B.①②③C.③④D.①②④

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

(本題12分)已知橢圓的焦點是,又過點
(1)求橢圓的離心率;
(2)又設點在這個橢圓上,且,求的余弦的大小.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

中,滿足.若一個橢圓恰好以為一個焦點,另一個焦點在線段上,且,均在此橢圓上,則該橢圓的離心率為      

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

a,b為大于1的正數(shù),并且,如果的最小值為m,則滿足的整點的個數(shù)為                                   (    )
A.5B.7C.9D.11

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

橢圓的離心率為,則實數(shù)的值為___________.              

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

若焦點在軸上的橢圓的離心率為,則等于(   )
A.B.C.D.

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