Question

一個(gè)幾何體的三視圖及部分度量值如圖所示，其中，正視圖與側(cè)視圖都是由一個(gè)正方形和一個(gè)等腰三角形組成，俯視圖是一個(gè)圓．
（1）判斷該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并求其表面積；
（2）如果正視圖中的點(diǎn)P是其所在線段的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是其所在正方形的頂點(diǎn)，試求：在原幾何體的側(cè)面上，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的最短路徑的長．

Answer 1

考點(diǎn)：多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題,由三視圖求面積、體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由三視圖知：該幾何體是一個(gè)圓錐加上一個(gè)同底圓柱，分別求出圓錐、圓柱的高和底面半徑，代入表面積公式，可得答案；
（2）沿P點(diǎn)所在母線和Q點(diǎn)所在母線剪開圓柱，展開得圓柱的半個(gè)側(cè)面，利用勾股定理可得從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的最短路徑的長．

解答： 解：（1）由三視圖知：該幾何體是一個(gè)圓錐加上一個(gè)同底圓柱，
且圓錐、圓柱的高分別為a，2a，底面半徑為a，…（3分）
所以此幾何體表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個(gè)底面積之和，
∴S=

1

2

×(2πa)×

2

a+(2πa)×2a+4πa2=(

2

+5)πa2，…（8分）
（2）沿P點(diǎn)所在母線和Q點(diǎn)所在母線剪開圓柱，展開得圓柱的半個(gè)側(cè)面，
如圖所示，
，
則PQ=

AP2+AQ2

=

a2+(πa)2

=

1+π2

a，
∴在原幾何體的側(cè)面上，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的最短路徑的長為

1+π2

a．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，由三視圖求面積，體積，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．