Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx）•cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當x$∈[0，\frac{7π}{24}]$時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x），根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間，
再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）在x∈[0，$\frac{7π}{24}$]的值域．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx）•cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\sqrt{2}$（sinxcosx+cos²x）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\sqrt{2}$（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$…（1分）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{4}$）；…（2分）
（1）當-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，…（4分）
∴-$\frac{3π}{4}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z；…（6分）
（2）當x∈[0，$\frac{7π}{24}$]時，2x∈[0，$\frac{7π}{12}$]，
2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]，
sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]；…（8分）
∴f（x）∈[$\frac{1}{2}$，1]，…（10分）
即函數(shù)f（x）的值域為[$\frac{1}{2}$，1]．   …（12分）

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，也考查了三角恒等變換的應用問題，是基礎(chǔ)題目．