Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）-cos（2x+

π

3

）+2cos²x．
（1）求f（

π

12

）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（3）函數(shù)f（x）的圖象可由y=sinx的圖象如何變換得來，請詳細說明．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）首先利用三角函數(shù)的恒等變換求出正弦型函數(shù)的形式進一步求函數(shù)的值．
（2）利用上一步的結果，利用整體思想求函數(shù)的單調遞增、遞減區(qū)間．
（3）函數(shù)圖象的變換，平移板換和伸縮變換．注意變換規(guī)律．

解答： 解：（1）f（x）=sin（2x+

π

6

）-cos（2x+

π

3

）+2cos²x=2sin(2x+

π

6

)+1
所以：f(

π

12

)=

3

+1，
（2）令：2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z）
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

所以：f（x）增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)，
同理求得：f（x）減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)
（3）變換步驟：（答案不唯一）y=sinx所有的橫標變?yōu)樵瓉淼?span id="0g39epk" class="MathJye">

1

2

得到：y=sin2x所有點向左平移

π

12

個單位得到：y=sin(2x+

π

6

)所有點的縱標伸長原來的2倍得到：y=2sin(2x+

π

6

)所有的點向上平移一個單位得到：y=2sin(2x+

π

6

)+1．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的單調區(qū)間的求法，函數(shù)的圖象的變換問題．