Question

已知函數(shù)．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，若f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2，求a的值；

(3)若對(duì)任意，且恒成立，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）（2）.（3）.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，.

利用切線的斜率等于在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，可得斜率得解.

（2）函數(shù)的定義域是. 根據(jù)當(dāng)時(shí)、當(dāng)、當(dāng)時(shí)、當(dāng)時(shí)等 幾種情況，“求導(dǎo)數(shù)，求駐點(diǎn)，討論區(qū)間單調(diào)性，確定函數(shù)的最值”，建立的方程.

（3）設(shè)，問題轉(zhuǎn)化成“只要在上單調(diào)遞增即可.”

當(dāng)時(shí)，根據(jù)，知在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，只需在上恒成立，問題轉(zhuǎn)化成“只要”.

（1）當(dāng)時(shí)，.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719005257795171/SYS201411171901010157785067_DA/SYS201411171901010157785067_DA.026.png">. 2分

所以切線方程是 3分

（2）函數(shù)的定義域是.

當(dāng)時(shí)，

令，即，

所以或. 6分

當(dāng)，即時(shí)，在［1，e]上單調(diào)遞增，

所以在［1，e]上的最小值是，解得； 7分

當(dāng)時(shí)，在［1，e]上的最小值是，即令，，

，而，，不合題意； 9分

當(dāng)時(shí)，在[1，e]上單調(diào)遞減，

所以在［1，e]上的最小值是，解得，不合題意

所以.

（3）設(shè)，則，

只要在上單調(diào)遞增即可. 11分

而

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增； 12分

當(dāng)時(shí)，只需在上恒成立，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719005257795171/SYS201411171901010157785067_DA/SYS201411171901010157785067_DA.069.png">，只要，

則需要， 13分

對(duì)于函數(shù)，過定點(diǎn)（0，1），對(duì)稱軸，只需，

即. 綜上. 14分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想.