【題目】已知函數(shù),曲線在點處的切線與軸平行.函數(shù).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求證:函數(shù)共有兩個零點,一個零點是,另一個零點在區(qū)間內(nèi);
(Ⅲ)求證:存在,當時, .
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) ;(Ⅲ)見解析.
【解析】試題分析:
(Ⅰ)由題意可得,利用導函數(shù)研究函數(shù)的切線可知 ,則.
(Ⅱ)由題意可得,且, , ,據(jù)此可得存在兩個零點,且一個零點為,第二個零點在區(qū)間內(nèi).
(Ⅲ)由題意可得,結合(Ⅱ)的結論可知函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,則存在,當時, .
試題解析:
(Ⅰ),
,解得.
(Ⅱ),令得到.
極小值 |
, , ,所以存在兩個零點,且一個零點為,
, , 所以第二個零點在區(qū)間內(nèi).
(Ⅲ)證明: ,
令可得
極大值 | 極小值 |
而,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以當, 恒成立,
所以存在,當時, .
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象,被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,我國擁有世界上最深的海洋藍洞,若要測量如圖所示的藍洞的口徑,兩點間的距離,現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點,,測得,,,,則,兩點的距離為___.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某營養(yǎng)協(xié)會對全市18歲男生的身高作調(diào)查,統(tǒng)計顯示全市18歲男生的身高服從正態(tài)分布,現(xiàn)某校隨機抽取了100名18歲男生的身高分析,結果這100名學生的身高全部介于到之間.現(xiàn)將結果按如下方式分為6組,第一組,第二組,…,第六組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)若全市18歲男生共有人,試估計該市身高在以上的18歲男生人數(shù);
(2)求的值,并計算該校18歲男生的身高的中位數(shù)(精確到小數(shù)點后三位);
(3)若身高以上的學生校服需要單獨定制,現(xiàn)從這100名學生中身高在以上的同學中任意抽取3人,這三人中校服需要單獨定制的人數(shù)記為,求的分布列和期望.
附: ,則;
,則;
,則.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是正方形,側面底面,,分別為,中點,.
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在一點,使平面?若存在,指出點的位置;若不存在,說明理由.
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【題目】已知圓C1:(x+1)2+(y-3)2=9和圓C2:x2+y2-4x+2y-11=0.
(1)求兩圓公共弦所在直線的方程;
(2)求直線過點C(3,-5),且與公共弦垂直的直線方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義域為[0,1]的函數(shù)f(x)同時滿足以下三個條件:
①對任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③當x1,x2∈[0,1],且x1+x2∈[0,1]時,f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.稱這樣的函數(shù)為“友誼函數(shù)”.
請解答下列各題:
(1)已知f(x)為“友誼函數(shù)”,求f(0)的值;
(2)函數(shù)g(x)=2x-1在區(qū)間[0,1]上是否為“友誼函數(shù)”?請給出理由;
(3)已知f(x)為“友誼函數(shù)”,假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f[f(x0)]=x0,求證: f(x0)=x0.
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【題目】節(jié)能燈的質(zhì)量通過其正常使用時間來衡量,使用時間越長,表明質(zhì)量越好,且使用時間大于或等于6千小時的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品.現(xiàn)用A,B兩種不同型號的節(jié)能燈做試驗,各隨機抽取部分產(chǎn)品作為樣本,得到試驗結果的頻率分布直方圖如圖所示.
以上述試驗結果中使用時間落入各組的頻率作為相應的概率.
(1)現(xiàn)從大量的A,B兩種型號節(jié)能燈中各隨機抽取兩件產(chǎn)品,求恰有兩件是優(yōu)質(zhì)品的概率;
(2)已知A型節(jié)能燈的生產(chǎn)廠家對使用時間小于6千小時的節(jié)能燈實行“三包”.通過多年統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),A型節(jié)能燈每件產(chǎn)品的利潤y(單位:元)與其使用時間t(單位:千小時)的關系如下表:
使用時間t(單位:千小時) | t<4 | 4≤t<6 | t≥6 |
每件產(chǎn)品的利潤y(單位:元) | -10 | 10 | 20 |
若從大量的A型節(jié)能燈中隨機抽取兩件,其利潤之和記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓的極坐標方程為:ρ2-4ρcos(θ-)+6=0.
(1)將極坐標方程化為普通方程;
(2)若點P(x,y)在該圓上,求x+y的最大值和最小值.
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