Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，，分別為，中點(diǎn)，．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析，（Ⅱ）（Ⅲ）不存在.

【解析】

試題（Ⅰ）證明線面平行，關(guān)鍵在于找出線線平行.本題條件含中點(diǎn)，故從中位線上找線線平行.，分別為，中點(diǎn)，在△中，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，所以∥．又因?yàn)?/span>平面，平面，所以∥平面．（Ⅱ）求二面角的大小，有兩個(gè)思路，一是作出二面角的平面角，這要用到三垂線定理及其逆定理，利用側(cè)面底面，可得底面的垂線，再作DF的垂線，就可得二面角的平面角，二是利用空間向量求出大小.首先建立空間坐標(biāo)系. 取中點(diǎn)．由側(cè)面底面易得面．以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．再利用兩平面法向量的夾角與二面角的平面角的關(guān)系，求出結(jié)果，（Ⅲ）存在性問(wèn)題，一般從假設(shè)存在出發(fā)，構(gòu)造等量關(guān)系，將存在是否轉(zhuǎn)化為方程是否有解.

證明：（Ⅰ）如圖，連結(jié)．

因?yàn)榈酌?/span>是正方形，

所以與互相平分．

又因?yàn)?/span>是中點(diǎn)，

所以是中點(diǎn)．

在△中，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，

所以∥．

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以∥平面． 4分

（Ⅱ）取中點(diǎn)．在△中，因?yàn)?/span>，

所以．

因?yàn)槊?/span>底面，

且面面，

所以面．

因?yàn)?/span> 平面

所以．

又因?yàn)?/span>是中點(diǎn)，

所以 ．

如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．

因?yàn)?/span>，所以，則，，，，，，，．

于是，，．

因?yàn)?/span>面，所以是平面的一個(gè)法向量．

設(shè)平面的一個(gè)法向量是．

因?yàn)?/span>所以即

令則．

所以．

由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為． 10分

（Ⅲ）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)，使面．設(shè)，

則． 由（Ⅱ）可知平面的一個(gè)法向量是．

因?yàn)?/span>面，所以．

于是，，即．

又因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以與共線．

因?yàn)?/span>，，

所以．

所以，無(wú)解．

故在棱上不存在一點(diǎn)，使面成立． 14分