Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²+$\sqrt{2}（m-1）x+\frac{m}{4}$，現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)，繪制得到莖葉圖，且莖葉圖中的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2．（莖葉圖中的數(shù)據(jù)均為小數(shù)，其中莖為整數(shù)部分，葉為小數(shù)部分）
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）現(xiàn)從莖葉圖小于3的數(shù)據(jù)中任取2個(gè)數(shù)據(jù)分別替換m的值，求恰有1個(gè)數(shù)據(jù)使得函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，利用平均數(shù)的定義列方程求出a的值；
（Ⅱ）寫(xiě)出莖葉圖小于3的數(shù)據(jù)，從中任取2個(gè)數(shù)據(jù)的不同取法；
利用判別式△＜0求出函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)m的取值范圍，求出對(duì)應(yīng)的事件數(shù)，
計(jì)算所求的概率值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算平均數(shù)為
$\overline{x}$=$\frac{1}{10}$×（0.3+0.1×a+0.5+1.4+1.9+1.8+2.3+3.2+3.4+4.5）=2，
解得a=7；
（Ⅱ）莖葉圖小于3的數(shù)據(jù)有0.3，0.7，0.5，1.4，1.9，1.8，2.3共7個(gè)；
從中任取2個(gè)數(shù)據(jù)，有${C}_{7}^{2}$=21種不同的取法；
函數(shù)f（x）=x²+$\sqrt{2}（m-1）x+\frac{m}{4}$中，
△=2（m-1）²-m=2m²-5m+2，
令△＜0，解得$\frac{1}{2}$＜m＜2，
∴滿(mǎn)足該條件的數(shù)據(jù)是0.7，1.4，1.8，1.9共4個(gè)；
用抽出的2個(gè)數(shù)分別替換m的值，恰有1個(gè)數(shù)據(jù)使得函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)的不同取法是${C}_{4}^{1}$•${C}_{3}^{1}$=12，
故所求的概率為P=$\frac{12}{21}$=$\frac{4}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了莖葉圖與古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，是綜合題．