Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，，平面，，，，且是的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的大�。�

（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與所成的角為？ 若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析． （Ⅱ） ． （Ⅲ）不存在點(diǎn)；理由見解析．

【解析】

（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，證明，即可證明平面．

（Ⅱ）根據(jù)平面的法向量，求得平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式即可求得二面角的值．

（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的P，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量的夾角關(guān)系求出P的坐標(biāo)，根據(jù)P的位置即可判斷出不存在．

（Ⅰ）證明：因?yàn)?/span>平面，，故以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

由已知可得各點(diǎn)坐標(biāo)為

，

設(shè)平面的一個(gè)法向量是

由 得

令，則

又因?yàn)?/span> ，

所以，又平面，所以平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一個(gè)法向量是.

因?yàn)?/span>平面，所以

又因?yàn)?/span>，所以平面.

故是平面的一個(gè)法向量.

所以 ，又二面角為銳角，

故二面角的大小為

（Ⅲ）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使得與所成的角為

不妨設(shè) ，則

所以

由題意得

化簡(jiǎn)得

解得

因?yàn)?/span>，所以無解

即在線段上不存在點(diǎn)，使得與所成的角為