【題目】如圖所示的幾何體中,垂直于梯形所在的平面,為的中點(diǎn),,四邊形為矩形,線段交于點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)在線段上是否存在一點(diǎn),使得與平面所成角的大小為?若存在,求出的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)在線段上存在一點(diǎn)滿足題意,且
【解析】
(1)由題意結(jié)合線面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用兩個(gè)半平面的法向量可得二面角的余弦值,然后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得二面角的正弦值;
(3)假設(shè)點(diǎn)Q存在,利用直線的方向向量和平面的法向量計(jì)算可得點(diǎn)Q的存在性和位置.
(1)因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形,所以為的中點(diǎn).連接,
在中,分別為的中點(diǎn),所以,
因?yàn)?/span>平面,平面,
所以平面.
(2)易知兩兩垂直,如圖以為原點(diǎn),分別以所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
則,所以.
設(shè)平面的法向量為,
則即解得
令,得
所以平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)平面的法向量為,
,據(jù)此可得 ,
則平面的一個(gè)法向量為,
,于是.
故二面角的正弦值為.
(3)設(shè)存在點(diǎn)滿足條件.
由,
設(shè),整理得,
則.
因?yàn)橹本與平面所成角的大小為,
所以
解得,
由知,即點(diǎn)與重合.
故在線段上存在一點(diǎn),且.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】共享單車(chē)給市民出行帶來(lái)了諸多便利,某公司購(gòu)買(mǎi)了一批單車(chē)投放到某地給市民使用.據(jù)市場(chǎng)分析,每輛單車(chē)的營(yíng)運(yùn)累計(jì)收入 (單位:元)與營(yíng)運(yùn)天數(shù)滿足.
(1)要使?fàn)I運(yùn)累計(jì)收入高于800元,求營(yíng)運(yùn)天數(shù)的取值范圍;
(2)每輛單車(chē)營(yíng)運(yùn)多少天時(shí),才能使每天的平均營(yíng)運(yùn)收入最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線, .
(1)當(dāng)時(shí),直線過(guò)與的交點(diǎn),且它在兩坐標(biāo)軸上的截距相反,求直線的方程;
(2)若坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為,判斷與的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,
(Ⅰ)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),曲線與曲線交于兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 的左,右焦點(diǎn),,上頂點(diǎn)為,,為橢圓上任意一點(diǎn),且的面積最大值為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若點(diǎn).為橢圓上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則是否存在常數(shù),使得點(diǎn)到直線的距離為定值?若存在,求出常數(shù)和這個(gè)定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】是雙曲線上一點(diǎn), 分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn),直線的斜率之積為.
(1)求雙曲線的離心率;
(2)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線于兩點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn), 為雙曲線上一點(diǎn),滿足,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,為橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在直線上且不在軸上,直線與橢圓的交點(diǎn)分別為和,為坐標(biāo)原點(diǎn).
設(shè)直線的斜率為,證明:
問(wèn)直線上是否存在點(diǎn),使得直線的斜率滿足?若存在,求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在心理學(xué)研究中,常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響,具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.
(I)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。
(II)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.
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