【題目】在四邊形中,,;如圖,將沿邊折起,連結,使,求證:
(1)平面平面;
(2)若為棱上一點,且與平面所成角的正弦值為,求二面角的大小.
【答案】(1)證明見詳解;(2)
【解析】
(1)由題可知,等腰直角三角形與等邊三角形,在其公共邊AC上取中點O,連接、,可得,可求出.在中,由勾股定理可證得,結合,可證明平面.再根據面面垂直的判定定理,可證平面平面.
(2)以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,由點F在線段上,設,得出的坐標,進而求出平面的一個法向量.用向量法表示出與平面所成角的正弦值,由其等于,解得.再結合為平面的一個法向量,用向量法即可求出與的夾角,結合圖形,寫出二面角的大小.
證明:(1)在中,
為正三角形,且
在中,
為等腰直角三角形,且
取的中點,連接
,
,
,平面
平面
平面
..平面平面
(2)以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則
,
,
,
設.則
設平面的一個法向量為.則
,
令,解得
與平面所成角的正弦值為,
整理得
解得或(含去)
又為平面的一個法向量
,
二面角的大小為.
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【題目】有關命題的說法錯誤的是( )
A.若p∨q為假命題,則p、q均為假命題
B.“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件
C.命題“若x2﹣3x+2=0,則x=1”的逆否命題為:“若x≠1,則x2﹣3x+2≠0”
D.對于命題p:x≥0,2x=3,則¬P:x<0,2x≠3
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【題目】下列說法正確的是( )
A.“”是“點到直線的距離為3”的充要條件
B.直線的傾斜角的取值范圍為
C.直線與直線平行,且與圓相切
D.離心率為的雙曲線的漸近線方程為
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【題目】已知函數,,.
(1)當時,求函數的單調區(qū)間;
(2)若曲線在點(1,0)處的切線為l : x+y-1=0,求a,b的值;
(3)若恒成立,求的最大值.
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【題目】某校名學生參加軍事冬令營活動,活動期間各自扮演一名角色進行分組游戲,角色按級別從小到大共種,分別為士兵、排長、連長、營長、團長、旅長、師長、軍長和司令.游戲分組有兩種方式,可以人一組或者人一組.如果人一組,則必須角色相同;如果人一組,則人角色相同或者人為級別連續(xù)的個不同角色.已知這名學生扮演的角色有名士兵和名司令,其余角色各人,現在新加入名學生,將這名學生分成組進行游戲,則新加入的學生可以扮演的角色的種數為________.
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