Question

【題目】已知函數(shù)，，．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若曲線在點(diǎn)(1，0)處的切線為l : x＋y－1＝0，求a，b的值；

（3）若恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）；（3）.

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，令可得增區(qū)間，令可得減區(qū)間；

（2）求導(dǎo)數(shù)，結(jié)合切線方程可求a，b的值；

（3）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)恒成立分類討論求解函數(shù)的最值，進(jìn)而可得的最大值．

（1）由題意知，則．

令得，所以在上單調(diào)遞增．

令得，所以在上單調(diào)遞減．

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（2）因?yàn)?/span>，得，

由曲線在處的切線為，可知，且，

所以

（3）設(shè)，則恒成立．

易得

（i）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以此時(shí)在上單調(diào)遞增．

①若，則當(dāng)時(shí)滿足條件，此時(shí)；

②若，取即且，

此時(shí)，所以不恒成立．

不滿足條件；

(ii)當(dāng)時(shí)，令，得由，得；

由，得

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

要使得“恒成立”，必須有

“當(dāng)時(shí)， ”成立．

所以．則

令則

令，得由，得；

由，得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)時(shí)，

從而，當(dāng)時(shí)， 的最大值為．