Question

3．某科考試中，從甲、乙兩個班級各抽取10名同學的成績進行統(tǒng)計分析，兩班成績的莖葉圖如圖所示，成績不小于90分為及格．
（Ⅰ）設甲、乙兩個班所抽取的10名同學成績方差分別為$S_甲^2$、$S_乙^2$，比較$S_甲^2$、$S_乙^2$的大�。ㄖ苯訉懗鼋Y果，不寫過程）；
（Ⅱ）從甲班10人任取2人，設這2人中及格的人數(shù)為X，求X的分布列和期望；
（Ⅲ）從兩班這20名同學中各抽取一人，在已知有人及格的條件下，求抽到乙班同學不及格的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由莖葉圖可得$S_甲^2＞S_乙^2$．
（Ⅱ）由題可知X取值為0，1，2．分另求出相應的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅲ）由莖葉圖可得，甲班有4人及格，乙班有5人及格．設事件A=“從兩班這20名同學中各抽取一人，已知有人及格”，事件B=“從兩班這20名同學中各抽取一人，乙班同學不及格”，由此利用條件概率計算公式能求出在已知有人及格的條件下，抽到乙班同學不及格的概率．

解答 解：（Ⅰ）由莖葉圖可得$S_甲^2＞S_乙^2$．
（Ⅱ）由題可知X取值為0，1，2．
$P（X=0）=\frac{C_6^2C_4^0}{{C_{10}^2}}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}$，
$P（X=1）=\frac{C_6^1C_4^1}{{C_{10}^2}}=\frac{24}{45}=\frac{8}{15}$，
$P（X=2）=\frac{C_6^0C_4^2}{{C_{10}^2}}=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}$，
所以X的分布列為：

X	0	1	2
P（X）	$\frac{1}{3}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{15}$

所以$E（X）=0×\frac{1}{3}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{2}{15}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$．
（Ⅲ）由莖葉圖可得，甲班有4人及格，乙班有5人及格．
設事件A=“從兩班這20名同學中各抽取一人，已知有人及格”，
事件B=“從兩班這20名同學中各抽取一人，乙班同學不及格”．
則在已知有人及格的條件下，抽到乙班同學不及格的概率：
$P（B|A）=\frac{P（A•B）}{P（A）}=\frac{{\frac{20}{100}}}{{1-\frac{30}{100}}}=\frac{2}{7}$．

點評 本題考查莖葉圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求示，考查概率的求法及應用，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方思想，是中檔題．