Question

7．若關于x的方程ax²+bx+c=0（a，b，c∈R且a≠0）有實根，且不等式（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥ma²恒成立，則實數(shù)m的最大值為（　　）

• A． $\frac{9}{16}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． 1
• D． $\frac{9}{8}$

Answer 1

分析 由題意可得△=b²-4ac≥0，從而可得y≤$\frac{{x}^{2}}{4}$，再化簡（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥ma²為m≤（1-$\frac{a}$）²+（$\frac{a}$-$\frac{c}{a}$）²+（$\frac{c}{a}$-1）²，即（1-$\frac{a}$）²+（$\frac{a}$-$\frac{c}{a}$）²+（$\frac{c}{a}$-1）²=2y²-2（x+1）y+2x²-2x+2，分類討論以確定函數(shù)的最小值的求法，從而解得．

解答 解：∵關于x的方程ax²+bx+c=0（a，b，c∈R且a≠0）有實根，
∴△=b²-4ac≥0，
即$（\frac{a}）^{2}$-4$\frac{c}{a}$≥0，
令$\frac{a}$=x，$\frac{c}{a}$=y；故x²-4y≥0，
即y≤$\frac{{x}^{2}}{4}$，
∵（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥ma²，
∴m≤（1-$\frac{a}$）²+（$\frac{a}$-$\frac{c}{a}$）²+（$\frac{c}{a}$-1）²，
而（1-$\frac{a}$）²+（$\frac{a}$-$\frac{c}{a}$）²+（$\frac{c}{a}$-1）²
=（1-x）²+（x-y）²+（y-1）²
=2y²-2xy-2y+2x²-2x+2
=2y²-2（x+1）y+2x²-2x+2，
當$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{x+1}{2}$=$\frac{{x}^{2}-2x-2}{4}$≤0，即1-$\sqrt{3}$≤x≤1+$\sqrt{3}$時，
當y=$\frac{{x}^{2}}{4}$時，函數(shù)f（y）=2y²-2（x+1）y+2x²-2x+2有最小值
g（x）=2（$\frac{{x}^{2}}{4}$）²-2（x+1）$\frac{{x}^{2}}{4}$+2x²-2x+2=$\frac{{x}^{4}}{8}$-$\frac{{x}^{3}}{2}$+$\frac{3}{2}{x}^{2}$-2x+2，
g′（x）=$\frac{{x}^{3}}{2}$-$\frac{3}{2}{x}^{2}$+3x-2，
g″（x）=$\frac{3}{2}{x}^{2}$-3x+3=$\frac{3}{2}$（x-1）²+$\frac{3}{2}$＞0，
∴g′（x）=$\frac{{x}^{3}}{2}$-$\frac{3}{2}{x}^{2}$+3x-2在其定義域上是增函數(shù)，
又∵g′（1）=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$+3-2=0，
∴當x∈（1-$\sqrt{3}$，1）時，g′（x）＜0，
當x∈（1，1+$\sqrt{3}$）時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（1-$\sqrt{3}$，1）上是減函數(shù)，在（1，1+$\sqrt{3}$）上是增函數(shù)；
∴g_min（x）=g（1）=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$-2+2=$\frac{9}{8}$；
當$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{x+1}{2}$=$\frac{{x}^{2}-2x-2}{4}$＞0，即x＜1-$\sqrt{3}$或x＞1+$\sqrt{3}$時，
當y=$\frac{x+1}{2}$時，函數(shù)f（y）=2y²-2（x+1）y+2x²-2x+2有最小值
g（x）=2（$\frac{x+1}{2}$）²-2（x+1）$\frac{x+1}{2}$+2x²-2x+2=$\frac{3}{2}{x}^{2}$-3x+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$（x-1）²，
∵x＜1-$\sqrt{3}$或x＞1+$\sqrt{3}$，
∴$\frac{3}{2}$（x-1）²＞$\frac{9}{2}$，
綜上所述，（1-$\frac{a}$）²+（$\frac{a}$-$\frac{c}{a}$）²+（$\frac{c}{a}$-1）²的最小值為$\frac{9}{8}$，
故實數(shù)m的最大值為$\frac{9}{8}$，
故選：D．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題與最值問題．