Question

19．已知m＞0且|x+1|+|2x-1|≥m恒成立，a，b，c∈R滿足a²+2b²+3c²=m．則a+2b+3c的最小值為-3．

Answer 1

分析 由條件利用柯西不等式可得a²+2b²+3c²≥$\frac{{（a+2b+3c）}^{2}}{1+2+3}$，從而求得|a+2b+3c|的最大值為3，可得a+2b+3c的最小值．

解答 解：令f（x）=|x+1|+|2x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x＜-1}\\{2-x，-1≤x＜\frac{1}{2}}\\{3x，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，故函數(shù)f（x）的最小值為f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$，
再根據(jù)|x+1|+|2x-1|≥m恒成立，可得m≤$\frac{3}{2}$，
∴a²+2b²+3c² ≤$\frac{3}{2}$．
由條件利用柯西不等式可得$\frac{3}{2}$≥a²+2b²+3c² ≥$\frac{{（a+2b+3c）}^{2}}{1+2+3}$，從而求得（a+2b+3c）²≤9，
當且僅當$\frac{{a}^{2}}{1}$=$\frac{{2b}^{2}}{2}$=$\frac{{3c}^{2}}{3}$，即a=b=c=$\frac{1}{2}$或a=b=c=-$\frac{1}{2}$時，取等號，
∴|a+2b+3c|的最大值為3，即-3≤a+2b+3c≤3，
故a+2b+3c的最小值為-3，此時，a=b=c=-$\frac{1}{2}$．
故答案為：-3．

點評 本題主要考查柯西不等式的應用，注意式子的變形，屬于基礎(chǔ)題．