Question

9．設(shè)f（x）=2x³+ax²+bx+1在（1，f（1））處的切線方程為y=-6．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=0，f（1）=-6，求出a，b的值即可；（2）先求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值問題．

解答 解：（1）f′（x）=6x²+2ax+b，
由f′（1）=0，f（1）=-6得：a=3，b=-12；
（2）由（1）知f（x）=2x³+3x²-12x+1，
f′（x）=6x²+6x-12=6（x-1）（x+2），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）遞增，在（-2，1）遞減；
從而函數(shù)f（x）在x=-2處取得極大值f（-2）=21，在x=1處取得極小值f（1）=-6．

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．