Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)滿(mǎn)足方程.

（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；

（2）作曲線C關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的曲線，記為，在曲線C上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作曲線C的切線l，若切線l與曲線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，B分別作曲線的切線，，且，的交點(diǎn)為Q，試問(wèn)以Q為直角的是否存在，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），（2）存在，或

【解析】

（1）平方化簡(jiǎn)，即可求解；

（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線l的方程，與曲線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理，確定兩交點(diǎn)A，B坐標(biāo)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線，的方程，并聯(lián)立求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，

利用，結(jié)合A，B坐標(biāo)關(guān)系，即可求解.

（1）由，

兩邊平方并化簡(jiǎn)，得，即，

所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為.

（2）依題可設(shè)點(diǎn)，，

曲線C切于點(diǎn)P的切線l的斜率為，

切線l的方程為，

整理得

依題可知曲線，

聯(lián)立方程組，，

設(shè)，，所以，.（*）

設(shè)曲線上點(diǎn)處的切線斜率為，

切線方程為，整理得，

同理可得曲線上點(diǎn)處的切線方程為，

聯(lián)立方程組，，

又由（*）式得，

所以，的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，

假設(shè)以Q為直角的存在，則有，

而，，

所以由，得，

即，

即，

化簡(jiǎn)得，

因?yàn)橛深}得，所以或，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.