Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$$+\frac{{y}^{2}}{n}$=1（0＜n＜2）．
（Ⅰ）若橢圓C的離心率為$\frac{1}{2}$，求n的值；
（Ⅱ）若過點(diǎn)N（-2，0）任作一條直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，在x軸上是否存在點(diǎn)M，使得∠NMA+∠NMB=180°？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a²=2，b²=n，所以c²=2-n，又e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得n
（ II）若存在點(diǎn)M（m，0），使得∠NMA+∠NMB=180°，
則直線AM和BM的斜率存在，分別設(shè)為k₁，k₂．等價(jià)于k₁+k₂=0．
依題意，直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為y=k（x+2）．與橢圓方程聯(lián)立，利用△＞0．求出．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理，通過令k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}$=0，求出m．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閍²=2，b²=n，所以c²=2-n，
又e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得n=$\frac{3}{2}$
（ II）若存在點(diǎn)M（m，0），使得∠NMA+∠NMB=180°，
則直線AM和BM的斜率存在，分別設(shè)為k₁，k₂．等價(jià)于k₁+k₂=0．
依題意，直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為y=k（x+2）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{n}=1}\end{array}\right.$得（2k²+n）x²-8k²x+8k²-2n=0．
因?yàn)橹本�l與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)，所以△＞0．
即（8k²）²-4（2k²+n）（8k²-2n）＞0，解得k²＜$\frac{n}{2}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-$\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+n}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2n}{2{k}^{2}+n}$．
y₁=k（x₁+2），y₂=k（x₂+2）．
令k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}$=0，（x₁-m）y₂+（x₂-m）y₁=0，
（x₁-m）k（x₂+2）+（x₂-m）k（x₁+2）=0，
當(dāng)k≠0時(shí)，2x₁x₂-（m-2）（x₁+x₂）-4m=0，$\frac{n（m+1）}{2{k}^{2}+n}=0$，∴m=-1．
當(dāng)k=0時(shí)，也成立．
所以存在點(diǎn)M（-1，0），使得∠PQM+∠PQN=180°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，存在性問題的處理方法，考查分析問題解決問題的能力，屬于難題．