Question

設f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)f′（x）的導數(shù)，定義：若f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），且方程f″（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的對稱中心．有同學發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數(shù)都有對稱中心”，請你運用這一發(fā)現(xiàn)處理下列問題：設g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

，則
（1）函數(shù)g（x）的對稱中心為

 

；
（2）g（

1

2015

）+g（

2

2015

）+g（

3

2015

）+…+g（

2014

2015

）=

 

．

Answer 1

考點：導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)g（x）的解析式求出g′（x）和g″（x），令g″（x）=0，求得x的值，由此求得函數(shù)g（x）的對稱中心．
（2）由導函數(shù)的導函數(shù)等于0求出x的值，可得g（x₀）+f（1-x₀）=y₀+（2-y₀）=2，從而得到g（

1

2015

）+g（

2

2015

）+g（

3

2015

）+…+g（

2014

2015

）的值．

解答： 解：（1）∵g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

，
又g′（x）=x²-x+3，g″（x）=2x-1，
令g″（x）=0得x=

1

2

，∴g（

1

2

）=

1

3

×(

1

2

)3-

1

2

×(

1

2

)2+3×

1

2

-

5

12

=1
故函數(shù)g（x）的對稱中心為（

1

2

，1）．
（2）設P（x₀，y₀）在g（x）上可知P關于對稱點（

1

2

，1）的對稱點g（1-x₀，2-y₀）也在函數(shù)g（x）上，
∴g（1-x₀）=2-y₀
∴g（x₀）+g（1-x₀）=y₀+（2-y₀）=2，
∵g（

1

2015

）+g（

2

2015

）+…+g（

2014

2015

）
=[g（

1

2015

）+g（

2014

2015

）]+…+[g（

2007

2015

）+g（

2008

2015

）]=2×1007=2014．

點評：本小題主要考查函數(shù)與導數(shù)等知識，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，考查化簡計算能力，函數(shù)的對稱性的應用，屬于基礎題．