Question

已知奇函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，數(shù)列{x_n}是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，且滿足f（x₈）+f（x₉）+f（x₁₀）+f（x₁₁）=0．則x₂₀₁₄=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)條件關(guān)系求出數(shù)列的首項(xiàng)以及通項(xiàng)公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)x₈=a，則x₉=a+2，x₁₀=a+4，x₁₁=a+6，
∴f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，
且f（a）＜f（a+2）＜f（a+4）＜f（a+6），
∴f（a）＜0且f（a+6）＞0．
∵奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0．
∴f（a+3）=0=f（0），
即a+3=0．
∴x₈=-3．
設(shè)數(shù)列{x_n}通項(xiàng)x_n=x₁+2（n-1）．
∴x₈=x₁+14=-3．
∴x₁=-17．
∴通項(xiàng)x_n=2n-19．
∴x₂₀₁₄=2×2014-19=4009．
故答案為：4009．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意遞推公式的合理運(yùn)用．