16.已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$(t為參數(shù),$\frac{π}{2}≤α<π$),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=2cosθ.
(Ⅰ)討論直線l與圓C的公共點個數(shù);
(Ⅱ)過極點作直線l的垂線,垂足為P,求點P的軌跡與圓C相交所得弦長.

分析 (Ⅰ)直線l為過定點A(0,1),傾斜角在$[{\frac{π}{2},π})$內(nèi)的一條直線,圓C的方程為(x-1)2+y2=1,即可討論直線l與圓C的公共點個數(shù);
(Ⅱ)過極點作直線l的垂線,垂足為P,聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}ρ=2cosθ\\ ρ=sinθ({0≤θ<\frac{π}{2}})\end{array}\right.$得$ρ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$,即可求點P的軌跡與圓C相交所得弦長.

解答 解:(Ⅰ)直線l為過定點A(0,1),傾斜角在$[{\frac{π}{2},π})$內(nèi)的一條直線,
圓C的方程為(x-1)2+y2=1,∴當$α=\frac{π}{2}$時,直線l與圓C有1個公共點;
當$\frac{π}{2}<α<π$時,直線l與圓C有2個公共點
(Ⅱ)依題意,點P在以O(shè)A為直徑的圓上,可得軌跡極坐標方程為$ρ=sinθ({0≤θ<\frac{π}{2}})$.
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}ρ=2cosθ\\ ρ=sinθ({0≤θ<\frac{π}{2}})\end{array}\right.$得$ρ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$.
∴點P的軌跡與圓C相交所得弦長是$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$.

點評 本題考查極坐標方程的運用,考查直線與圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.

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