Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，其前n項(xiàng)為S_n，且a_n=2

Sn

-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n是數(shù)列{

1

an+1

}的前n項(xiàng)和，R_n是數(shù)列{

a1×a2…×an

(a1+1)×(a2+1)…×(an+1)

}的前n項(xiàng)和，比較R_n與T_n大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n=2

Sn

-1．可得Sn=

(an+1)2

4

，因此當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n-a_n-1=2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）設(shè)t_n=

1

an+1

=

1

2n

，r_n=

a1×a2…×an

(a1+1)×(a2+1)…×(an+1)

=

1×3×5×…×(2n-1)

2×4×6×…×2n

，當(dāng)n=1時(shí)，T₁=R₁．當(dāng)n≥2時(shí)，證明r_n＞t_n．由于r_n=

1×3×5×…×(2n-1)

2×4×6×…×2n

＞

1

2

×

4

3

×

6

5

×…×

2n

2n-1

×

2n+2

2n+1

=

1

rn

×

n+1

4n+2

，可得r_n＞t_n，即可得出．

解答： 解：（1）∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n=2

Sn

-1．
∴Sn=

(an+1)2

4

，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

(an+1)2

4

-

(an-1+1)2

4

，
化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=2

a1

-1，解得a₁=1．
∴正項(xiàng)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）設(shè)t_n=

1

an+1

=

1

2n

，r_n=

a1×a2…×an

(a1+1)×(a2+1)…×(an+1)

=

1×3×5×…×(2n-1)

2×4×6×…×2n

，
當(dāng)n=1時(shí)，T₁=R₁．
當(dāng)n≥2時(shí)，證明r_n＞t_n．
r_n=

1×3×5×…×(2n-1)

2×4×6×…×2n

＞

1

2

×

4

3

×

6

5

×…×

2n

2n-1

×

2n+2

2n+1

=

1

rn

×

n+1

4n+2

，
∴r_n＞

n+1 4n+2

＞

1

2n

=t_n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，R_n＞T_n．
綜上可得：當(dāng)n=1時(shí)，T₁=R₁．
當(dāng)n≥2時(shí)，R_n＞T_n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了通過(guò)放縮法證明不等式、數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．