已知函數(shù)f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx(a∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)當(dāng)a<0時(shí),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[
1
2
,1]上最小值.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:計(jì)算題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)令f′(x)≥0,討論當(dāng)a≥0,當(dāng)a=-時(shí),當(dāng)-時(shí),當(dāng)a<-
1
2
,解二次不等式,注意定義域,即可得到函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)由(1)可得f′(x).由于a<0.對(duì)a分類討論:-
1
2
≤a<0時(shí),a≤-1時(shí),-1<a<-時(shí),利用導(dǎo)數(shù)分別研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出.
解答: 解:(1)由函數(shù)f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx(a∈R,x>0),
可得f′(x)=2ax+(1-2a)-
1
x
=
2ax2+(1-2a)x-1
x
=
(2ax+1)(x-1)
x

令f′(x)≥0,
當(dāng)a≥0,x>0,∴
2ax+1
x
>0,∴x-1≥0,解得x≥1.
因此函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[1,+∞);
當(dāng)a<0時(shí),當(dāng)a=-
1
2
時(shí),f(x)無(wú)增區(qū)間;
當(dāng)-
1
2
<a<0
時(shí),解得,x>-
1
2a
或0<x<1,則有增區(qū)間為(0,1),(-
1
2a
,+∞);
當(dāng)a<-
1
2
,解得,x>1或0<x<-
1
2a
,則有增區(qū)間為(0,-
1
2a
).(1,+∞).
(2)由(1)可得f′(x)=
2a(x+
1
2a
)(x-1)
x

由于a<0.當(dāng)
1
-2a
≥1即-
1
2
≤a<0時(shí),f′(x)≤0,
因此函數(shù)f(x)在區(qū)間[
1
2
,1]上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值,f(1)=a+1-2a-0=1-a;
當(dāng)0<-
1
2a
1
2
即a≤-1時(shí),f′(x)≥0,因此函數(shù)f(x)在區(qū)間[
1
2
,1]上單調(diào)遞增,
∴當(dāng)x=
1
2
時(shí),f(x)取得最小值,f(
1
2
)=
1
4
a+
1
2
(1-2a)-ln
1
2
=
1
2
-
3
4
a+ln2;
當(dāng)
1
2
<-
1
2a
<1即-1<a<-
1
2
時(shí),令f′(x)=0,解得x=-
1
2a

當(dāng)
1
2
x<-
1
-2a
時(shí),f′(x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)-
1
2a
<x≤1時(shí),f′(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
因此當(dāng)x=-
1
2a
時(shí),f(x)取得最小值,f(-
1
2a
)=1-
1
4a
+ln(-2a).
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值,考查了分類討論的思想方法,考查了推理能力和計(jì)算能力,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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斜率為1的直線與兩直線2x+y-1=0,x+2y-2=0分別交于A、B兩點(diǎn),求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程.

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若正整數(shù)N=
n
i=1
ai
(ai∈N*),稱T=
n
π
i=1
ai為N的一個(gè)“分解積”,
(1)當(dāng)N分別等于6,7,8時(shí),它們的“分解積”的最大值分別為
 

(2)當(dāng)N=3m+1(m∈N*)時(shí),它的“分解積”的最大值為
 

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現(xiàn)代城市大多是棋盤(pán)式布局(如北京道路幾乎都是東西和南北走向).在這樣的城市中,我們說(shuō)的兩點(diǎn)間的距離往往不是指兩點(diǎn)間的直線距離(位移),而是實(shí)際路程(如圖1).在直角坐標(biāo)平面內(nèi),我們定義A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)間的“直角距離”為:D(AB)=|x1-x2|+|y1-y2|.
(1)在平面直角坐標(biāo)系中如圖2,寫(xiě)出所有滿足到原點(diǎn)的“直角距離”為2的“格點(diǎn)”的坐標(biāo).(格點(diǎn)指橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))
(2)求到兩定點(diǎn)F1、F2的“直角距離”和為定值2a(a>0)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程,并在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出該動(dòng)點(diǎn)的軌跡
①F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),a=2
②F1(-1,-1),F(xiàn)2(1,1),a=2;
③F1(-1,-1),F(xiàn)2(1,1),a=4.
(3)寫(xiě)出同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的“格點(diǎn)”的坐標(biāo),并說(shuō)明理由(格點(diǎn)指橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)).
①到A(-1,-1),B(1,1)兩點(diǎn)“直角距離”相等;
②到C(-2,-2),D(2,2)兩點(diǎn)“直角距離”和最。

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(1)若關(guān)于x的方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)不存在正實(shí)數(shù)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)m-x
(1)若函數(shù)f(x)為(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)求證:(1+sin1)(1+sin
1
22
)(1+sin
1
32
)…(1+sin
1
n2
)<e2

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已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
3
2
的橢圓過(guò)點(diǎn)(
2
,
2
2
).
(1)求橢圓方程;
(2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O的直線l,與該橢圓交于P,Q兩點(diǎn),直線OP,PQ,OQ的斜率依次為k1、k、k2,滿足k1、k、k2依次成等比數(shù)列,求△OPQ面積的取值范圍.

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若a>0,b>0,ab=4,當(dāng)a+4b取得最小值時(shí),
a
b
=
 

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已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)為Sn,且an=2
Sn
-1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)Tn是數(shù)列{
1
an+1
}的前n項(xiàng)和,Rn是數(shù)列{
a1×a2…×an
(a1+1)×(a2+1)…×(an+1)
}的前n項(xiàng)和,比較Rn與Tn大小,并說(shuō)明理由.

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