Question

已知直四棱柱AC₁（側(cè)棱與底面垂直）的底面是邊長為1的棱形，∠BCD=120°，側(cè)棱BB₁=2，連接B₁C，過B點作B₁C的垂線交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求證：BD⊥A₁C；
（2）求三棱錐C-BDE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得A₁B₁⊥平面BC₁，A₁C⊥BE，A₁C⊥BD，從而A₁C⊥面BDE，由此能證明BD⊥A₁C．
（2）點A到面A₁B₁C的距離即為點B到面A₁B₁C的距離，VA1-B1BC=VB-A1B1C，由此能求出三棱錐C-BDE的體積．

解答： （1）證明：∵直四棱柱A₁C，∴A₁B₁⊥平面BC₁，
B₁C為A₁C在平面BC₁上的射影，
∵BE⊥B₁C，由三垂線定理得，A₁C⊥BE，
同理A₁C⊥BD，
∵BE∩BD=B，∴A₁C⊥面BDE．
∴BD⊥A₁C．
（2）解：∵AB∥面A₁B₁C，
∴點A到面A₁B₁C的距離即為點B到面A₁B₁C的距離，設(shè)為d，
∵VA1-B1BC=VB-A1B1C，
∴

1

3

×

1

2

×

1

2

×2×1×1=

1

3

×

1

2

×

5

×1×d，
∴d=

2 5

5

，
∴點A到平面A₁B₁C的距離為

2 5

5

，
∵A₁B₁=1，A₁C=B1C=

1+4

=

5

，
∴S△A1B1C=

1

2

×1×

5- 1 4

=

19

4

，
∴三棱錐C-BDE的體積V=

1

3

×

2 5

5

×

19

4

=

95

30

．

點評：本題考查異面直線垂直的求法，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．