Question

4．如圖，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，它們所在平面互相垂直，F(xiàn)D⊥平面ABCD，且$FD=\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）若∠CBA=60°，求幾何體EFABCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）若∠CBA=60°，利用分割法結合棱錐和棱柱的體積公式即可求幾何體EFABCD的體積．

解答 解：（Ⅰ）如圖，過點E作EH⊥BC于H，連接HD．
∴$EH=\sqrt{3}$．
∵平面ABCD⊥平面BCE，EH⊆平面BCE，
平面ABCD∩平面BCE于BC，
∴EH⊥平面ABCD．
又∵FD⊥平面ABCD，$FD=\sqrt{3}$．
∴$FD\underline{\underline{∥}}EH$．
∴四邊形EHDF為平行四邊形．
∴EF∥HD．
∵EF?平面ABCD，HD⊆平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）連接CF，HA．由題意，得HA⊥BC．
∵HA⊆平面ABCD，平面ABCD⊥平面BCE于BC，
∴HA⊥平面BCE．
∵FD∥EH，EH⊆平面BCE，F(xiàn)D?平面BCE，
∴FD∥平面BCE．
同理，由HB∥DA可證，DA∥平面BCE．
∵FD∩DA于D，F(xiàn)D?平面ADF，DA?平面ADF，
∴平面BCE∥平面ADF．
∴F到平面BCE的距離等于HA的長．
∵FD為四棱錐F-ABCD的高，
∴V_EFABCD=V_F-BCE+V_F-ABCD=$\frac{1}{3}{S_{△BCE}}×HA+\frac{1}{3}{S_{平行四邊形ABCD}}×FD$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}+\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}$=3．…（12分）

點評 本題主要考查空間幾何體線面平行的判定以及幾何體的體積的計算，利用相應的判定定理以及分割法是解決本題的關鍵．