Question

17．已知函數(shù)y=-3cos²x+4sinx+5，其中x是三角形中的一個(gè)內(nèi)角，求函數(shù)y的最值．

Answer 1

分析 運(yùn)用同角的平方關(guān)系，可得y=-3（1-sin²x）+4sinx+5=3sin²x+4sinx+2，令t=sinx，0＜t≤1，原函數(shù)變?yōu)閥=3t²+4t+2，（0＜t≤1），運(yùn)用配方，結(jié)合二次函數(shù)的值域求法，即可得到最值．

解答 解：由0＜x＜π，則有0＜sinx≤1，
∵sin²x+cos²x=1，
∴y=-3（1-sin²x）+4sinx+5=3sin²x+4sinx+2，
令t=sinx，0＜t≤1，
原函數(shù)變?yōu)閥=3t²+4t+2，（0＜t≤1）
即y=3（t+$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$（0＜t≤1），
當(dāng)t=1，即sinx=1時(shí)，有最大值y_max=9，
此時(shí)$x=\frac{π}{2}$．沒(méi)有最小值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查同角的平方關(guān)系和正弦函數(shù)的值域，及二次函數(shù)的值域，屬于中檔題．