Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2AD，∠BAD=60°，E為AB的中點，將△ADE沿直線DE折起到△PDE的位置，使平面PDE⊥平面BCDE．
（Ⅰ）證明：平面PCE⊥平面PDE；
（Ⅱ）設(shè)F、M分別為PC、DE的中點，求直線MF與平面PDE所成的角．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）通過證明CE⊥平面PDE，即可證明：平面PCE⊥平面PDE；
（Ⅱ）取PE中點G，連接FG，連接MG，則∠FMG為直線MF與平面PDE所成的角，求出FG，MG，即可求直線MF與平面PDE所成的角．

解答： （Ⅰ）證明：∵AB=2AD，E為AB的中點，
∴AE=AD，
∴∠BAD=60°，
∴△ADE為正三角形，
∴∠AED=60°，
∵BE=BC，∠CBE=120°，
∴∠CEB=30°，
∴CE⊥DE，
∵平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE=DE，
∴CE⊥平面PDE，
∴平面PCE⊥平面PDE；
（Ⅱ）解：取PE中點G，連接FG，則
∵F為PC的中點，
∴FG∥CE，
∴FG⊥平面PDE，
連接MG，則∠FMG為直線MF與平面PDE所成的角．
設(shè)AD=2，則GM=

1

2

PD=1，
在△BCE中，BE=BC=2，∠CBE=120°，則
CE²=4+4-2•2•2cos120°=12，∴CE=2

3

，
∴FG=

3

．
在直角△FGM中，tan∠FMG=

FG

GM

=

3

，
∴∠FMG=60°，
∴直線MF與平面PDE所成的角為60°．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．