Question

已知橢圓￢：+=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），M點的坐標(biāo)為（0，b），O為坐標(biāo)原點，△OMF是等腰直角三角形．
（1）求橢圓￢的方程；
（2）設(shè)經(jīng)過點C（0，2）作直線AB交橢圓￢于A、B兩點，求△AOB面積的最大值；
（3）是否存在直線l交橢圓于P，Q兩點，使點F為△PQM的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△△OMF是等腰直角三角形，可得b=1，a=，b=，從而可得橢圓方程；
（2）設(shè)過點C（0，2）的直線AB的方程為y=kx+2，A、B的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_B，求出|x_A-x_B|的最大值，即可求得△AOB面積=×2×|x_A-x_B|=|x_A-x_B|的最大值；
（3）假設(shè)存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且使點F為△PQM的垂心，設(shè)直線l的方程為y=x+m，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）由△OMF是等腰直角三角形，得b=1，a=b=，故橢圓方程為；
（2）設(shè)過點C（0，2）的直線AB的方程為y=kx+2，A、B的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_B，
將線AB的方程為y=kx+2代入橢圓方程，消元可得（1+2k²）x²+8kx+6=0，△=16k²-24＞0，∴k²＞
∴x_A+x_B=-，x_Ax_B=
∴|x_A-x_B|==
令k²=t，則t＞，|x_A-x_B|=
令u=t-，則u＞0，|x_A-x_B|=4=2≤（當(dāng)且僅當(dāng)u=2時取等號）
又△AOB面積=×2×|x_A-x_B|=|x_A-x_B|，∴△AOB面積的最大值為；
（3）假設(shè)存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且使點F為△PQM的垂心，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因為M（0，1），F(xiàn)（1，0），所以k_PQ=1．                  
于是設(shè)直線l的方程為y=x+m，代入橢圓方程，消元可得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△＞0，得m²＜3，且x₁+x₂=，x₁x₂=
由題意應(yīng)有，所以x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0，
所以2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0．
整理得2×（m-1）+m²-m=0．
解得m=-或m=1．                              
經(jīng)檢驗，當(dāng)m=1時，△PQM不存在，故舍去．
∴當(dāng)m=-時，所求直線l存在，且直線l的方程為y=x-
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查韋達(dá)定理的運用，屬于中檔題．