Question

17．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=9，AB=BC=6$\sqrt{3}$，N，M，P分別為BC，A₁B₁，C₁D₁的中點．
（1）求點P到平面B₁MN的距離；
（2）求PC與平面B₁MN所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）連接PM，PB₁，PN，根據(jù)三棱錐N-PMB₁等于三棱錐P-MNB₁的體積，根據(jù)已知的數(shù)據(jù)即可求出△PMB₁和△MNB₁的面積，根據(jù)棱錐的體積公式即可求得P到平面B₁MN的距離；
（2）分別以邊DA，DC，DD₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可以確定一些空間點的坐標(biāo)，根據(jù)平面法向量和平面垂直即可求得平面B₁MN的法向量$\overrightarrow{n}$，設(shè)PC和平面B₁MN所成角為θ，則根據(jù)$sinθ=|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PC}＞|$即可求出θ．

解答 解：（1）如圖，連接PM，PB₁，PN，根據(jù)已知條件：
${S}_{△PM{B}_{1}}=\frac{1}{2}•3\sqrt{3}•6\sqrt{3}=27$，${S}_{△MN{B}_{1}}=\frac{1}{2}•\sqrt{81+27}•3\sqrt{3}=27$；
∵${V}_{三棱錐N-PM{B}_{1}}={V}_{三棱錐P-MN{B}_{1}}$；
則P到平面B₁MN的距離為9；
（2）以D為坐標(biāo)原點，邊DA，DC，DD₁所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：
M（$6\sqrt{3}，3\sqrt{3}，9$），${B}_{1}（6\sqrt{3}，6\sqrt{3}，9）$，N（$3\sqrt{3}，6\sqrt{3}，0$），$P（0，3\sqrt{3}，9），C（0，6\sqrt{3}，0）$；
∴$\overrightarrow{{B}_{1}M}=（0，-3\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{{B}_{1}N}=（-3\sqrt{3}，0，-9）$，$\overrightarrow{PC}=（0，3\sqrt{3}，-9）$；
設(shè)平面B₁MN的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，則：
$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{{B}_{1}M}，\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{{B}_{1}N}$；
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}M}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}N}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3\sqrt{3}y=0}\\{-3\sqrt{3}x-9z=0}\end{array}\right.$，取z=1，則$\overrightarrow{n}=（-\sqrt{3}，0，1）$；
若設(shè)PC和平面B₁MN所成角為θ，則：sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PC}$＞|=$\frac{9}{\sqrt{108}•2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$；
∴$θ=arcsin\frac{\sqrt{3}}{4}$；
∴PC與平面B₁MN所成角的大小為arcsin$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 考查三棱錐的體積公式，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決線面角的求解，以及需理解平面法向量的概念，線面垂直的判定定理，兩非零向量垂直的充要條件，線面角的定義及向量求線面角的方法．