Question

9．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，且AA₁=AB=2．
（1）求證：AB⊥BC；
（2）若直線AC與平面A₁BC所成的角的正弦值為$\frac{1}{2}$，求銳二面角A-A₁C-B的大小．

Answer 1

分析 （1）取A₁B的中點(diǎn)D，連接AD，由已知條件推導(dǎo)出AD⊥平面A₁BC，從而AD⊥BC，由線面垂直得AA₁⊥BC．由此能證明AB⊥BC．
（2）連接CD，由已知條件得∠ACD即為直線AC與平面A₁BC所成的角，∠AED即為二面角A-A₁C-B的一個(gè)平面角，由此能求出二面角A-A₁C-B的大�。�

解答 （1）證明：如圖，取A₁B的中點(diǎn)D，連接AD，
∵AA₁=AB，∴AD⊥A₁B，
∵平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩側(cè)面A₁ABB₁=A₁B，
∴AD⊥平面A₁BC，
又∵BC?平面A₁BC，∴AD⊥BC，
∵三棱柱ABC---A₁B₁C₁是直三棱柱，∴AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BC，
又AA₁∩AD=A，從而BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，
又AB?側(cè)面A₁ABB₁，故AB⊥BC；
（2）解：連接CD，由（1）可知AD⊥平面A₁BC，
則CD是AC在平面A₁BC內(nèi)的射影，
∴∠ACD即為直線AC與平面A₁BC所成的角，
又∵sin∠ACD=$\frac{1}{2}$，∴∠ACD=$\frac{π}{6}$，
∵在等腰直角△A₁AB中，AA₁=AB=2，且點(diǎn)D是A₁B中點(diǎn)，
∴AD=$\frac{1}{2}$A₁B=$\sqrt{2}$，且∠ADC=$\frac{π}{2}$，
∴AC=2$\sqrt{2}$，
過點(diǎn)A作AE⊥A₁C于點(diǎn)E，連DE，
由（1）知AD⊥平面A₁BC，則AD⊥A₁C，且AE∩AD=A，
∴∠AED即為二面角A-A₁C-B的一個(gè)平面角，
且直角△A₁AC中：AE=$\frac{{A}_{1}A•AC}{{A}_{1}C}$=$\frac{2×2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
又AD=$\sqrt{2}$，∠ADE=$\frac{π}{2}$，
∴sin∠AED=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且二面角A-A₁C-B為銳二面角，
∴∠AED=$\frac{π}{3}$，即二面角A-A₁C-B的大小為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．