Question

19．在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4，$\frac{π}{3}$）．
（1）若極點(diǎn)不變，將極軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{6}$，求點(diǎn)P在新坐標(biāo)系中的極坐標(biāo)；
（2）將極點(diǎn)已知O′（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）處，極軸方向不變，求點(diǎn)P在新坐標(biāo)系中的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得則點(diǎn)P在新坐標(biāo)系中極徑不變，極角比原來(lái)增大$\frac{π}{6}$，由此可得點(diǎn)P在新坐標(biāo)系中的極坐標(biāo)．
（2）（2）將極點(diǎn)已知O′（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）處，極軸方向不變，數(shù)形結(jié)合求得OP的值以及∠x′O′P的值，可得點(diǎn)P在新坐標(biāo)系下的極坐標(biāo)．

解答 解：（1）已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4，$\frac{π}{3}$），若極點(diǎn)不變，將極軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{6}$，
則點(diǎn)P在新坐標(biāo)系中極徑不變，極角比原來(lái)增大$\frac{π}{6}$，故點(diǎn)P在新坐標(biāo)系中的極坐標(biāo)為（4，$\frac{π}{2}$）．
（2）將極點(diǎn)已知O′（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）處，極軸方向不變，如圖所示：A是OP直線和x′軸的交點(diǎn)，
則由題意可得OP=4，OO′=2$\sqrt{3}$，∠xOO′=$\frac{π}{6}$=∠OO′A，∠xOP=$\frac{π}{3}$，
利用余弦定理求得O′P=$\sqrt{{OP}^{2}{+OO′}^{2}-2OP•OO′cos∠O′OP}$=$\sqrt{16+12-2•4•2\sqrt{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴OP²+O′P²=OO′²，∴∠PO′O=$\frac{π}{2}$，∴∠PO′A=∠PO′O-∠OO′A=$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，
∴點(diǎn)P在新坐標(biāo)系下的輻角主值為∠x′O′P=π-∠PO′A=$\frac{2π}{3}$，
故點(diǎn)P在新坐標(biāo)系下的極坐標(biāo)為（2，$\frac{2π}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，坐標(biāo)系的平移，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．