Question

（2011•安徽模擬）已知數(shù)列{an}中a1=

1

2

，前n項(xiàng)和2Sn=Sn-1-(

1

2

)n-1+2(n≥2，n∈N)．
（Ⅰ）令b_n=2ⁿa_n，求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令cn=

n+1

n

an，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將已知關(guān)系式變形得出Sn+an=-(

1

2

)n-1+2  （n≥2）由此當(dāng)n≥3．時(shí)Sn-1+an-1=-(

1

2

)n-2+2，兩式相減并構(gòu)造得出2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1，再利用等差數(shù)列定義進(jìn)行判斷證明即可．（Ⅱ） 由（Ⅰ）得出an=

n

2n

，從而cn=

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n，利用錯(cuò)位相消法求和即可．

解答：解：（Ⅰ）∵2Sn=Sn-1-(

1

2

)n-2+2．
即Sn+an=-(

1

2

)n-1+2，n≥2，Sn-1+an-1=-(

1

2

)n-2+2，n≥3．
兩式相減得2an=an-1+(

1

2

)n-1，即2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1…（3分）
∵b_n=2ⁿa_n，∴b_n=b_n-1+1（n≥3），即當(dāng)n≥3時(shí)，b_n-b_n-1=1，
又b₁=2a₁=1，2（a₁+a₂）=a₁-

1

2

+2，得a₂=

1

2

，∴b₂=4a₂=2，∴b₂-b₁=1，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列…（5分）
于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，∴an=

n

2n

…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得cn=

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n，所以
所以cn=bn•(

1

2

)n=(n+1)(

1

2

)n…（5分）
Tn=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+(n+1)(

1

2

)n①

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+4×(

1

2

)4+…+(n+1)(

1

2

)n+1②…（8分）
由①-②得

1

2

Tn=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(n-1)(

1

2

)n+1…（10分）
=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(n+1)(

1

2

)n+1=

3

2

-

n+3

2n+1

∴Tn=3-

n+3

2n

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的判定，通項(xiàng)公式求解，錯(cuò)位相消法求和，數(shù)列中Sn與a_n關(guān)系的應(yīng)用．需具有轉(zhuǎn)化、變形構(gòu)造、論證、計(jì)算等能力．