Question

16．已知函數(shù)g（x）=acos（$\frac{π}{6}$-x），f（x）=g（x）+2cos²（x+$\frac{π}{3}$）+1（a∈R）．
（1）若x∈[-$\frac{π}{3}$，0]，求函數(shù)g（x）的最大值；
（2）若x∈[0，$\frac{5π}{6}$]，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角函數(shù)的最值求解就．
（2）通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)閉區(qū)間是的最值求解最值．注意a的討論．

解答 解：（1）∵x∈[-$\frac{π}{3}$，0]，
∴$\frac{π}{6}$-x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]
∴cos（$\frac{π}{6}$-x）∈[0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴當(dāng)a＞0時，函數(shù)g（x）的最大值為：$\frac{\sqrt{3}a}{2}$．
當(dāng)a≤0時，函數(shù)g（x）的最大值為：0．
（2）∵x∈[0，$\frac{5π}{6}$]，
∴f（x）=g（x）+2cos²（x+$\frac{π}{3}$）+1
=acos（$\frac{π}{6}$-x）+2cos²（x+$\frac{π}{3}$）+1
=acos（$\frac{π}{6}$-x）+2sin²（$\frac{π}{2}$-x$-\frac{π}{3}$）+1
=acos（$\frac{π}{6}$-x）-2cos²（$\frac{π}{6}$-x）+3，
令t=cos（$\frac{π}{6}$-x），
可得f（x）=at-2t²+3=-2（t-$\frac{a}{4}$）²+$\frac{{a}^{2}}{8}$+3，t∈[0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
當(dāng)$\frac{a}{4}$＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即a＞2$\sqrt{3}$時，t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，最大值為：$\frac{3+\sqrt{3}a}{2}$．
當(dāng)$\frac{a}{4}$∈[0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，即0≤a≤2$\sqrt{3}$，t=$\frac{a}{4}$時，最大值為：$\frac{{a}^{2}}{8}$+3．
當(dāng)$\frac{a}{4}$＜0時，即a＜0，t=0時，最大值為：3．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值的求法，換元法以及二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的求法，考查分類討論轉(zhuǎn)化是的應(yīng)用．