Question

已知向量

a

=（sinωx，2cosωx），

b

=（sinωx+

3

cosωx，cosωx）（ω＞0），函數(shù)f（x）=

a

•

b

-1，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

．
（I）求ω的值；
（Ⅱ）設△ABC的三邊a、b、c所對應的角分別A、B、C，若f（

π

6

+

C

2

）=

5

4

，且a=1，c=

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：解三角形

分析：（I）由兩向量的坐標，利用平面向量數(shù)量積運算列出f（x）解析式，整理后利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式整理為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)題意得出函數(shù)的最小正周期，利用周期公式即可求出ω的值；
（Ⅱ）由第一問確定出的f（x）解析式，根據(jù)f（

π

6

+

C

2

）=

5

4

，求出cosC與sinC的值，再由a與c，cosC的值，利用余弦定理求出b的值，最后由a，b，sinC的值，利用三角形面積公式即可求出△ABC的面積．

解答： 解：（I）∵向量

a

=（sinωx，2cosωx），

b

=（sinωx+

3

cosωx，cosωx）（ω＞0），
∴f（x）=

a

•

b

-1=sin²ωx+

3

sinωxcosωx+2cos²ωx-1=

1

2

（1-cos2ωx）+

3

2

sin2ωx+cos2ωx=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，
∵函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

，
∴T=π，即

2π

2ω

=π，
∴ω=1；
（Ⅱ）由ω=1，得到f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
∴f（

π

6

+

C

2

）=sin（C+

π

2

）+

1

2

=cosC+

1

2

=

5

4

，即cosC=

3

4

，
∴sinC=

1-cos2C

=

7

4

，
∵a=1，c=

2

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即2=1+b²-

3

2

b，
整理得：2b²-3b-2=0，即（2b+1）（b-2）=0，
解得：b=-

1

2

（舍去）或b=2，
則S_△ABC=

1

2

absinC=

7

4

．

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及三角形面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．