Question

如圖，四邊形BCDE是直角梯形，CD∥BE，CD丄BC，CD=

1

2

BE=2，平面BCDE丄平面ABC；又已知△ABC為等腰直角三角形，AB=AC=4，M，F(xiàn)分別為BC，AE的中點(diǎn)．
（1）求直線CD與平面DFM所成角的正弦值；
（2）能否在線段EM上找到一點(diǎn)G，使得FG丄平面BCDE？若能，請(qǐng)指出G的位置，
并加以證明；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）求三棱錐F-DME的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明EB⊥平面ABC，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz，求出平面DFM的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線CD與平面DFM所成角的正弦值；
（2）設(shè)存在點(diǎn)G滿足題設(shè)，且

EG

=λ

EM

=（0≤λ≤1）．利用

FG

•

EM

=16λ-8=0，得λ=

1

2

．即可得出結(jié)論；
（3）求出S_△DME=6

2

，由（2）知，F(xiàn)G為三棱錐的高，F(xiàn)G=

2

，即可求三棱錐F-DME的體積．

解答： 解：由題意，CD⊥BC．四邊形BCDE是直角梯形，EB⊥BC．
又平面BCDE⊥平面ABC，∴EB⊥平面ABC．
于是以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz．
則B（0，0，0），C（4，4，0），A（0，4，0），D（4，4，2），E（0，0，4），F(xiàn)（0，2，2），M（2，2，0
（1）

CD

=（0，0，2）．
設(shè)

m

=（x，y，z）為平面DFM的法向量．
得

2x+2y+2z=0 -2x+2z=0

，令x=1，得

m

=（1，-2，1）．
于是sinθ=

6

6

；
（2）證明：設(shè)存在點(diǎn)G滿足題設(shè)，且

EG

=λ

EM

=（0≤λ≤1）．
則G（2λ，2λ，4-4λ），

FG

=（2λ，2λ-2，2-4λ）．
由

FG

•

EM

=16λ-8=0，得λ=

1

2

．經(jīng)檢驗(yàn)

FG

•

ED

=0．
故當(dāng)G為EM的中點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)G⊥平面BCDE．
（3）∵BE∥CD，CD⊥BC，且四邊形BCDE是直角梯形，
∴S_△BME=

1

2

×4×2

2

=4

2

，S_△DCM=2

2

，
∵梯形BCDE的面積為

1

2

×(4+2)×4

2

=12

2

，
∴S_△DME=6

2

，
由（2）知，F(xiàn)G為三棱錐的高，F(xiàn)G=

2

，
∴三棱錐F-DME的體積為

1

3

×6

2

×

2

=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求三棱錐F-DME的體積，考查空間角，正確運(yùn)用空間向量是關(guān)鍵．