Question

11．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．
（Ⅰ）求ab的最大值；
（Ⅱ）求證：$（{a+\frac{1}{a}}）（{b+\frac{1}}）≥\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a＞0，b＞0，運(yùn)用均值不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$，可得ab的最小值；
（Ⅱ）將不等式的左邊化為ab+$\frac{1}{ab}$+$\frac{a}$+$\frac{a}$，運(yùn)用均值不等式和對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）由a＞0，b＞0，
1=a+b≥2$\sqrt{ab}$，
即有0＜ab≤$\frac{1}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時，ab取得最大值$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得a，b＞0，且0＜ab≤$\frac{1}{4}$，
（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{1}$）=ab+$\frac{1}{ab}$+$\frac{a}$+$\frac{a}$
≥$\frac{1}{4}$+4+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=6+$\frac{1}{4}$=$\frac{25}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時，等號成立．

點(diǎn)評 本題主要考查不等式的證明，注意運(yùn)用均值不等式，對勾函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．