Question

16．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，其前n項和S_n中S₃=$\frac{3}{16}$，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$|a_n|，T_n=$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出數(shù)列的公比，然后求解數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）化簡b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$|a_n|，利用裂項法求解T_n=$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$，即可．

解答 解：（Ⅰ）若q=1，則${S_3}=\frac{3}{4}≠\frac{3}{16}$不符合題意，∴q≠1，…（1分）
當(dāng)q≠1時，由$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=\frac{1}{4}}\\{{S_3}=\frac{{{a_1}（1-{q^3}）}}{1-q}=\frac{3}{16}}\end{array}}\right.$得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=\frac{1}{4}}\\{q=-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$…（3分）
∴${a_n}=\frac{1}{4}•{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}={（-\frac{1}{2}）^{n+1}}$…（5分）
（Ⅱ）∵${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}|{a_n}|={log_{\frac{1}{2}}}|{{{（-\frac{1}{2}）}^{n+1}}}|=n+1$…（7分）
∴$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$…（8分）
∴T_n=$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$…（10分）

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，裂項法求解前n項和的方法，是中檔題．