Question

1．對(duì)于任意x∈R，函數(shù)f（x）=x²-2x-|x-1-a|-|x-2|+4的值非負(fù)，則實(shí)數(shù)a的最小值為（　�。�

• A． -$\frac{11}{8}$
• B． -5
• C． -3
• D． -2

Answer 1

分析 根據(jù)條件，問題可等價(jià)為：函數(shù)g（x）的圖象在函數(shù)h（x）圖象的上方，再結(jié)合兩函數(shù)圖象的位置關(guān)系，確定a的最小值．

解答 解：因?yàn)閒（x）的值非負(fù)，所以f（x）≥0恒成立，
即，x²-2x+4≥|x-2|+|x-（a+1）|對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
記g（x）=x²-2x+4，h（x）=|x-2|+|x-（a+1）|，
問題等價(jià)為：函數(shù)g（x）的圖象在函數(shù)h（x）圖象的上方，
其中，g（x）=（x-1）²+3，對(duì)稱軸為x=1，最小值為3，
h（x）的圖象的對(duì)稱軸為x=$\frac{a+3}{2}$，
且函數(shù)的最小值為|（a+1）-2|=|a-1|，
由|a-1|≤3，解得a∈[-2，4]，
當(dāng)a=-2時(shí)，h（x）=|x-2|+|x+1|，
函數(shù)的最小值恰為3，兩圖象相切，
如右圖，紅線為g（x）圖象，紫線為h（x）圖象，
若a＜-2，則h（x）_min＞3，不合題意，
因此，實(shí)數(shù)a的最小值為-2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的圖象和最值，涉及函數(shù)的最值，單調(diào)性和圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題．