2.設(shè)函數(shù)f(x)=ex-2x2+x,g(x)=f(x)+2x2-2x-1
(1)證明:函數(shù)f(x)在R上至少有兩個(gè)極值點(diǎn);
(2)證明:g(x)≥0,且$\frac{1}{e}$+$\frac{2}{{e}^{2}}$+…+$\frac{n}{{e}^{n}}$<$\frac{{n}^{3}}{n+1}$(n∈N*

分析 (1)f′(x)=ex-4x+1,令u(x)=ex-4x+1,u′(x)=ex-4,利用單調(diào)性可得:當(dāng)x=ln4時(shí),u(x)取得極小值即最小值,再利用函數(shù)零點(diǎn)存在判定定理可得:函數(shù)u(x)在分別在區(qū)間(0,ln4),(ln4,2)上各有一個(gè)零點(diǎn),并且只有這兩個(gè)零點(diǎn).
(2)g(x)=ex-x-1,g′(x)=ex-1,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值可得:當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)g(x)取得極小值即最小值,即可得到g(x)≥g(0)=0,利用ex≥x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào),可得$\frac{x}{{e}^{x}}$<$\frac{x}{x+1}$,利用裂項(xiàng)求和,可得結(jié)論.

解答 證明:(1)f′(x)=ex-4x+1,
令u(x)=ex-4x+1,u′(x)=ex-4,
當(dāng)x<ln4時(shí),u′(x)<0,此時(shí)函數(shù)u(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>ln4時(shí),u′(x)>0,此時(shí)函數(shù)u(x)單調(diào)遞增.
∴當(dāng)x=ln4時(shí),u(x)取得極小值即最小值,
而u(ln4)=5-4ln4<0,u(0)>0,u(2)=e2-7>0.
∴函數(shù)u(x)在分別在區(qū)間(0,ln4),(ln4,2)上各有一個(gè)零點(diǎn),并且只有這兩個(gè)零點(diǎn).
(2)g(x)=ex-x-1,g′(x)=ex-1,
當(dāng)x<0時(shí),g′(x)<0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>0時(shí),g′(x)>0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.
∴當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)g(x)取得極小值即最小值,∴g(x)≥g(0)=0,因此?x∈R,都有g(shù)(x)≥0.
∴ex≥x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào).
∴$\frac{x}{{e}^{x}}$<$\frac{x}{x+1}$,∴$\frac{n}{{e}^{n}}$$<\frac{n}{n+1}$=n2($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$),
∴$\frac{1}{e}$+$\frac{2}{{e}^{2}}$+…+$\frac{n}{{e}^{n}}$<n2(1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$)<$\frac{{n}^{3}}{n+1}$(n∈N*).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、函數(shù)零點(diǎn)存在判定定理、不等式的性質(zhì)、指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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