Question

已知函數(shù)，，且在點(diǎn)處的切線方程為．

(Ⅰ）求的值；

(Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；  

(Ⅲ）設(shè)為兩曲線，的交點(diǎn)，且兩曲線在交點(diǎn)處的切線分別為．若取，試判斷當(dāng)直線與軸圍成等腰三角形時(shí)值的個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ），∴，又，

∴．              ………………3分

(Ⅱ）；

∴

由得，

∴或．       …………………………………5分

∵，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)．    ………………………6分

若，即，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值點(diǎn)，

若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值點(diǎn)，

綜上，的取值范圍是．……………8分

 (Ⅲ）當(dāng)時(shí)，設(shè)兩切線的傾斜角分別為，

則，

∵， ∴均為銳角，        ………………………9分

當(dāng)，即時(shí)，若直線能與軸圍成等腰三角形，則；當(dāng)，即時(shí)，若直線能與軸圍成等腰三角形，則．

由得，，

得，即，

此方程有唯一解，

直線能與軸圍成一個(gè)等腰三角形．……11分

由得， ，

得，即，

     設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞增，

則在單調(diào)遞增，由于，且，

所以，則，

即方程在有唯一解，

直線能與軸圍成一個(gè)等腰三角形．  

因此，當(dāng)時(shí)，有兩處符合題意，所以直線能與軸圍成等腰三角形時(shí)，值的個(gè)數(shù)有2個(gè)．    ……………………14分