Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸長為2$\sqrt{2}$，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知A，B為橢圓的左右兩個頂點，T為橢圓上在第一象限內的一點，l為過點B且垂直x軸的直線，點S為直線AT與直線l的交點，點M以SB為直徑的圓與直線TB的另一個交點，求證：O，M，S三點共線．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a及橢圓的離心率公式求得c值，則b²=a²-c²=1，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線AT的方程，代入橢圓方程，由韋達定理求得T點坐標，由BT⊥SM，則$\overrightarrow{SO}$=（-$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$k），則$\overrightarrow{SO}$•$\overrightarrow{BT}$=$\frac{8{k}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，BT⊥SO，即可O，M，S三點共線．

解答 解：（Ⅰ）由題意知：a=$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則c=1，
又b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；     …（4分）
（Ⅱ）設直線AT方程為：y=k（x+$\sqrt{2}$），（k＞0），設點T坐標為（x₁，y₁），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+\sqrt{2}）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，則（1+2k²）x²+4$\sqrt{2}$k²x+4k²-1=0，…（5分）
由韋達定理x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，又A點坐標為（-$\sqrt{2}$，0），
得x₁=$\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{2}{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y₁=$\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$，…（7分）
又B點坐標為（$\sqrt{2}$，0），則$\overrightarrow{BT}$=（-$\frac{4\sqrt{2}{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$），…（8分）
由圓的性質得：BT⊥SM，
所以，要證明O，M，S三點共，只要證明BT⊥SO即可，…（9分）
又S點橫坐標為$\sqrt{2}$，則S點坐標為（$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$k），$\overrightarrow{SO}$=（-$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$k），
$\overrightarrow{SO}$•$\overrightarrow{BT}$=$\frac{8{k}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，…（11分）
即BT⊥SO，又BT⊥SM，
∴O，M，S三點共線．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．