Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+3a-1（a∈R）．
（1）當a＞0時，設函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式；
（2）設h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，若h（x）在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸與[1，2]的關系判斷f（x）的單調性，根據(jù)單調性求出最小值．
（2）寫出h（x），求出h′（x），求出h′（x）在[1，2]的最小值，令h_min（x）≥0求出a的范圍．

解答 解：（1）當a＞0時，f（x）的圖象開口向上，對稱軸為x=$\frac{1}{a}$．
①若$\frac{1}{a}$≤1，即a≥1時，f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，∴g（a）=f_min（x）=f（1）=4a-3．
②若$\frac{1}{a}$≥2，即0＜a≤$\frac{1}{2}$時，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，∴g（a）=f_min（x）=f（2）=7a-5．
③若1＜$\frac{1}{a}$＜2，即$\frac{1}{2}$＜a＜1時，f（x）在[1，2]上先減后增，∴g（a）=f_min（x）=f（$\frac{1}{a}$）=3a-$\frac{1}{a}$-1．
綜上，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{7a-5，0＜a≤\frac{1}{2}}\\{3a-\frac{1}{a}-1，\frac{1}{2}＜a＜1}\\{4a-3，a≥1}\end{array}\right.$．
（2）h（x）=ax+$\frac{3a-1}{x}$-2．h′（x）=a-$\frac{3a-1}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-3a+1}{{x}^{2}}$．
∵h（x）在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，∴$\frac{a{x}^{2}-3a+1}{{x}^{2}}$≥0在[1，2]上恒成立，即ax²-3a+1≥0恒成立．令F（x）=ax²-3a+1，
當a=0時，F(xiàn)（x）=1＞0，復合題意．
當a＞0時，F(xiàn)（x）在[1，2]上是增函數(shù)，∴F_min（x）=F（1）=1-2a≥0，解得0$＜a≤\frac{1}{2}$．
當a＜0時，F(xiàn)（x）在[1，2]上是減函數(shù)，∴F_min（x）=F（2）=a+1≥0，解得-1≤a＜0．
綜上，a的取值范圍是[-1，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調性和最值，函數(shù)恒成立問題，分類討論思想，屬于中檔題．