Question

16．已知條件p：函數(shù)f（x）=log${\;}_{10-{a}^{2}}$x在（0，+∞）上單調(diào)遞增；條件q：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x．不等式x²-3ax+2a²-$\frac{1}{2}$+a＞0恒成立．如果“p且q”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性便有10-a²＞1，從而可得出-3＜a＜3，而由不等式${x}^{2}-3ax+2{a}^{2}-\frac{1}{2}+a＞0$恒成立，便可得到△＜0，這樣可解出$2-\sqrt{2}＜a＜2+\sqrt{2}$，然后根據(jù)p且q為真命題，便得到p真q真，從而解不等式組$\left\{\begin{array}{l}{-3＜a＜3}\\{2-\sqrt{2}＜a＜2+\sqrt{2}}\end{array}\right.$即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
∴10-a²＞1；
∴a²＜9；
∴-3＜a＜3；
不等式${x}^{2}-3ax+2{a}^{2}-\frac{1}{2}+a＞0$恒成立；
∴$△=9{a}^{2}-4（2{a}^{2}-\frac{1}{2}+a）={a}^{2}-4a+2＜0$；
解得$2-\sqrt{2}＜a＜2+\sqrt{2}$；
條件p：-3＜a＜3，條件q：$2-\sqrt{2}＜a＜2+\sqrt{2}$；
∵p且q為真命題；
∴p，q都為真命題；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3＜a＜3}\\{2-\sqrt{2}＜a＜2+\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
∴$2-\sqrt{2}＜a＜3$；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（2-\sqrt{2}，3）$．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解一元二次不等式，一元二次不等式ax²+bx+c＞0的解集為R時(shí)，判別式△的取值情況，以及p且q真假和p，q真假的關(guān)系．