【題目】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在軸上,離心率為的橢圓C過點(diǎn)
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)不過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),若,證明:點(diǎn)O到直線的距離為定值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)當(dāng)時,點(diǎn)O到直線的距離為定值.
【解析】試題分析:(Ⅰ)利用待定系數(shù)法,根據(jù)題意列出方程組,解出即可;(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率都存在時,設(shè)直線的方程為,與橢圓的方程聯(lián)立可得點(diǎn)坐標(biāo),從而可算得,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,在中可計(jì)算出的值,當(dāng)直線之一的斜率不存在時,另一個的斜率一定為0時,可得結(jié)果.
試題解析:(Ⅰ)由題意可設(shè)橢圓方程為
又解得,所以橢圓方程為.
(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率都存在時,設(shè)直線的方程為,則
得,解得
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,在中,
由得
,所以點(diǎn)O到直線的距離為
當(dāng)直線之一的斜率不存在時,另一個的斜率一定為0,此時P,Q分別為橢圓的長軸和短軸的端點(diǎn),點(diǎn)O到直線的距離為
綜上可知,當(dāng)時,點(diǎn)O到直線的距離為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊,且2asinA=(2b﹣c)sinB+(2c﹣b)sinC.
(Ⅰ)求角A的大;
(Ⅱ)若sinB+sinC= ,試判斷△ABC的形狀.
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【題目】已知函數(shù)(其中,為常數(shù)且)在處取得極值.
(Ⅰ)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若在上的最大值為1,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求;
(2)若存在實(shí)數(shù),對任意的,都有,求整數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的離心率 ,分別是橢圓的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn),直線PA、PB的傾斜角分別為α、β滿足tanα+tanβ=1,則直線PA的斜率為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:函數(shù) 在區(qū)間(m,m+1)上單調(diào)遞減,命題q:實(shí)數(shù)m滿足方程 表示的焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.
(1)當(dāng)p為真命題時,求m的取值范圍;
(2)若命題“p且q”為假命題,“p或q”為真命題,求m的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+(1﹣a)x+(1﹣a).a(chǎn)∈R.
(1)當(dāng)a=4時,解不等式f(x)≥7;
(2)若對P任意的x∈(﹣1,+∞),函數(shù)f(x)的圖象恒在x軸上方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù) , ,若f(x)≤g(x)在區(qū)間[0,1]上恒成立,則( )
A.實(shí)數(shù)t有最小值1
B.實(shí)數(shù)t有最大值1
C.實(shí)數(shù)t有最小值
D.實(shí)數(shù)t有最大值
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