Question

（本小題滿分12分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）線段上是否存在點(diǎn)，使// 平面？若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見(jiàn)解析；（2）直線與平面所成角的正弦值為．

（3）點(diǎn)滿足時(shí)，有// 平面．

【解析】本試題主要是考查了空間幾何中點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系的運(yùn)用。

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916085181636292/SYS201211191610096132989582_DA.files/image011.png">，所以．同時(shí)得到 ．  

根據(jù)平面．  得到

（2）因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916085181636292/SYS201211191610096132989582_DA.files/image017.png">平面，且

所以BC⊥平面，則即為直線與平面所成的角

（3）假設(shè)存在點(diǎn)，且時(shí)，有// 平面，建立直角坐標(biāo)系來(lái)證明。

解：（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916085181636292/SYS201211191610096132989582_DA.files/image011.png">，所以．                            

因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916085181636292/SYS201211191610096132989582_DA.files/image018.png">為直角梯形，，，

所以四邊形為正方形，所以．  

所以平面．     所以 ．        ………………4分

（2）解法1：因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916085181636292/SYS201211191610096132989582_DA.files/image017.png">平面，且

所以BC⊥平面

則即為直線與平面所成的角

設(shè)BC=a，則AB=2a，，所以

則直角三角形CBE中，

即直線與平面所成角的正弦值為．               ………………8分

解法2：因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916085181636292/SYS201211191610096132989582_DA.files/image017.png">平面，且 ，

所以平面，所以．

由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

因?yàn)槿�角�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916085181636292/SYS201211191610096132989582_DA.files/image031.png">為等腰直角三角形，所以，設(shè)，

則．

所以 ，平面的一個(gè)法向量為．

設(shè)直線與平面所成的角為，

所以 ，           

即直線與平面所成角的正弦值為．      ………8分

（3）解：存在點(diǎn)，且時(shí)，有// 平面．       

證明如下：由 ，，所以．

設(shè)平面的法向量為，則有

所以   取，得．

因?yàn)?，且平面，所以 // 平面．

即點(diǎn)滿足時(shí)，有// 平面．               ………………12分