Question

設(shè)f（x）=x²+2ax-3．
（1）若f（a+1）-f（a）=9，求a值；
（2）若當(dāng)a∈[-1，1]時(shí)，f（x）＞0恒成立，試求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接由f（a+1）-f（a）=9列式求a的值；
（2）把f（x）＞0看作關(guān)于a的一次不等式，然后由a在區(qū)間[-1，1]的兩個(gè)斷點(diǎn)處的函數(shù)值大于0列不等式組求解x的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=x²+2ax-3，由f（a+1）-f（a）=9，得
（a+1）²+2a（a+1）-a²-2a²=9，即4a=8，a=2；
（2）令g（a）=2xa+x²-3，
當(dāng)x=0時(shí)，有g(shù)（a）=-3＜0，不合題意；
當(dāng)x≠0時(shí)，依題意有：

g(-1)＞0 g(1)＞0

，即

x2-2x-3＞0① x2+2x-3＞0②

，
解①得：x＜-1或x＞3；
解②得：x＜-3或x＞1．
∴x＜-3或x＞3．
綜上所述，x的取值范圍是（-∞，-3）∪（3，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，更換“主元”是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．