Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，其前n項和為，{b_n}是等比數(shù)列，且a₁=b₁，a₄+b₄=27，S₄-b₄=10．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n（n∈N^*），若對于任意不小于2的正整數(shù)n，恒有2ⁿ⁺¹×λ×（9n²-21n+16）＞T_n-8，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由條件得方程組

2+3d+2q3=27 8+6d-2q3=10

，由此能求出a_n=3n-1，b_n=2ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ）由Tn=2×2+5×22+8×23+…+(3n-1)×2n，利用錯位相減法得到Tn=(3n-4)×2n+1+8，2ⁿ⁺¹×λ×（9n²-21n+16）＞T_n-8等價于（9n²-21n+16）λ＞3n-4，由此能求出實數(shù)λ的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由a₁=b₁=2，
得a4=2+3d，b4=2q3，S4=8+6d，
由條件得方程組

2+3d+2q3=27 8+6d-2q3=10

，
解得d=3，q=2，
∴a_n=3n-1，b_n=2ⁿ（n∈N^*）．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Tn=2×2+5×22+8×23+…+(3n-1)×2n①2Tn=2×22+5×23+8×24+…+(3n-1)×2n+1②
由①-②得，

-Tn=2×2+3×22+3×23+…+3×2n-(3n-1)×2n+1 = 6×(1-2n) 1-2 -(3n-1)×2n+1-2 =-(3n-4)×2n+1-8

即Tn=(3n-4)×2n+1+8，（10分）
2ⁿ⁺¹×λ×（9n²-21n+16）＞T_n-8等價于（9n²-21n+16）λ＞3n-4，
∵n是正整數(shù)（不小于2），那么9n²-21n+16＞0
∴λ＞

3n-4

9n2-21n+16

，（12分）
而f(n)=

3n-4

9n2-21n+16

=

3n-4

(3n-4)2+(3n-4)+4

由于n≥2，∴3n-4＞0，f(n)=

1

(3n-4)+ 4 3n-4 +1

≤

1

5

當(dāng)且僅當(dāng)3n-4=

4

3n-4

時取等號，此時n=2
綜上實數(shù)λ的范圍為λ≥

1

5

．（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．