【題目】某年級位同學(xué)參加語文和數(shù)學(xué)兩門課的考試,每門課的考分從0到100分. 假如考試的結(jié)果沒有兩位同學(xué)的成績是完全相同的(即至少有一門課的成績不同). 另外,“甲比乙好”是指同學(xué)甲的語文和數(shù)學(xué)的考分均分別高于同學(xué)乙的語文和數(shù)學(xué)的考分. 試問:當(dāng)
最小為何值時,必存在三位同學(xué)(設(shè)為甲、乙、丙),有甲比乙好,乙比丙好.
【答案】401
【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系.
若一位同學(xué)的成績語文為分,數(shù)學(xué)為
分,令其對應(yīng)平面上的整點(diǎn)
,稱為“成績點(diǎn)”.
于是,位同學(xué)的考試結(jié)果映射到平面上是在
,
范圍內(nèi)的
個成績點(diǎn).
考慮平面上201條直線:.
若一條直線上有三個成績點(diǎn),即表示存在三位同學(xué)甲、乙、丙,有甲比乙好,乙比丙好.
顯然,直線和
每條至多只能有一個成績點(diǎn);直線
和
每條至多只能有兩個成績點(diǎn).
因為,所以,當(dāng)
時,必有一條直線有三個成績點(diǎn).
從而,的最小值
.
令集合;
.
顯然,,且在
中不存在三個成績點(diǎn)在同一條直線上.
故.從而,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有10名選手,他們的積分分別為9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,名次分別為第1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.現(xiàn)進(jìn)行單循環(huán)比賽(即任意兩名選手之間都恰進(jìn)行一場比賽),且每場比賽都要分出勝負(fù).若名次靠前的選手勝了名次靠后的選手,則勝者得1分,負(fù)者得0分;若名次靠后的選手勝了名次靠前的選手,則勝者得2分,負(fù)者得0分.全部比賽結(jié)束后計算每名選手的累計積分(即這次單循環(huán)所得的分?jǐn)?shù)與之前的積分相加所得的和),并根據(jù)累計積分進(jìn)行重新排名,求新的冠軍累計積分的最小值(允許名次并列).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個盒子里裝有大小均勻的個小球,其中有紅色球
個,編號分別為
;白色球
個, 編號分別為
, 從盒子中任取
個小球(假設(shè)取到任何—個小球的可能性相同).
(1)求取出的個小球中,含有編號為
的小球的概率;
(2)在取出的個小球中, 小球編號的最大值設(shè)為
,求隨機(jī)變量
的分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A. 若命題均為真命題,則命題
為真命題
B. “若,則
”的否命題是“若
”
C. 在,“
”是“
”的充要條件
D. 命題“
”的否定為
“
”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平行四邊形中,
,
,
,以對角線
為折痕把
折起,使點(diǎn)
到圖2所示點(diǎn)
的位置,使得
.
(Ⅰ)求證:平面平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線
與拋物線
相交于不同的
兩點(diǎn).
(1)如果直線過拋物線的焦點(diǎn),求
的值;
(2)如果,證明直線
必過一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某學(xué)校準(zhǔn)備修建一個面積為2400平方米的矩形活動場地(圖中ABCD)的圍欄,按照修建要求,中間用圍墻EF隔開,使得ABEF為矩形,EFCD為正方形,設(shè)米,已知圍墻(包括EF)的修建費(fèi)用均為每米500元,設(shè)圍墻(包括EF)的修建總費(fèi)用為y元.
(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及x的取值范圍;
(2)當(dāng)x為何值時,圍墻(包括EF)的修建總費(fèi)用y最?并求出y的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】自出生之日起,人的情緒、體力、智力等心理、生理狀況就呈周期變化,變化由線為.根據(jù)心理學(xué)家的統(tǒng)計,人體節(jié)律分為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律三種.這些節(jié)律的時間周期分別為23天、28天、33天.每個節(jié)律周期又分為高潮期、臨界日和低潮期三個階段.以上三個節(jié)律周期的半數(shù)為臨界日,這就是說11.5天、14天、16.5天分別為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律的臨界日.臨界日的前半期為高潮期,后半期為低潮期.生日前一天是起始位置(平衡位置),已知小英的生日是2003年3月20日(每年按365天計算).
(1)請寫出小英的體力、情緒和智力節(jié)律曲線的函數(shù);
(2)試判斷小英在2019年4月22日三種節(jié)律各處于什么階段,當(dāng)日小英是否適合參加某項體育競技比賽?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)點(diǎn)為圓
上的動點(diǎn),點(diǎn)
在
軸上的投影為
,動點(diǎn)
滿足
,動點(diǎn)
的軌跡為
.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)設(shè)的左頂點(diǎn)為
,若直線
與曲線
交于兩點(diǎn)
,
(
,
不是左右頂點(diǎn)),且滿足
,求證:直線
恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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