Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），且當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=(

1

2

)x-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（1，2）
• B、（2，+∞）
• C、（1，

  3	4

  ）
• D、（

  3	4

  ，2）

Answer 1

分析：由已知中f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），我們可以得到函數(shù)f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，且周期為4，則不難畫出函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，6]上的圖象，結(jié)合方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，我們可將方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的與函數(shù)y=）-log_a^x+2的圖象恰有3個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵對(duì)于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），
∴函數(shù)f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，且T=4
又∵當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=(

1

2

)x-1，且函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，6]上的圖象如下圖所示：

若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解
則log_a4＜3，log_a8＞3，
解得：

3	4

＜a＜2
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中根據(jù)方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，是解答本題的關(guān)鍵．