Question

16．已知二階矩陣A=$[{\begin{array}{l}3&5\\ 0&{-2}\end{array}}]$．
（1）求矩陣A的特征值和特征向量；
（2）設向量$\overrightarrow{β}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，求A²⁰¹⁶$\overrightarrow{β}$．

Answer 1

分析 （1）由矩陣A的特征多項式f（λ），令f（λ）=0，求得特征值，代入二元一次方程組求得其特征向量；
（2）由（1）的結論，向量$\overrightarrow{β}$是屬于特征值為-2的一個特征向量，利用特征向量的定義與性質即可求得A²⁰¹⁶$\overrightarrow{β}$．

解答 解：（1）矩陣A的特征多項式f（λ）=λE-A=$[\begin{array}{l}{λ-3}&{-5}\\{0}&{λ+2}\end{array}]$=（λ-3）（λ+2），
令f（λ）=0，解得：λ₁=3，λ₂=-2，
將λ₁=3，代入二元一次方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{0×x-5y=0}\\{0×x+5y=0}\end{array}\right.$，解得y=0，
矩陣A屬于特征值3的特征向量為$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$，
將λ₂=-2，代入二元一次方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{-5x-5y=0}\\{0•x+0•y=0}\end{array}\right.$，
當x=1時，y=-1，
∴矩陣A屬于特征值-2的特征向量為$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$；
（2）A²⁰¹⁶$\overrightarrow{β}$=${λ}_{2}^{2016}$$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{{2}^{2016}}\\{-{2}^{2016}}\end{array}]$．
∴A²⁰¹⁶$\overrightarrow{β}$=$[\begin{array}{l}{{2}^{2016}}\\{-{2}^{2016}}\end{array}]$．

點評 本題考查求二階矩陣的特征值和特征向量，著重考查特征向量的定義，求法及其性質，屬于中檔題．